Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 1 кг ни­ке­ля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут х кг алю­ми­ния и (20 − х) кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 20 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, n ра­бо­чих до­бы­ва­ют кг лю­бо­го из ме­тал­лов, по­это­му вме­сте бри­га­ды до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать втрое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Ко­ли­че­ству ни­ке­ля со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ство спла­ва Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при на­ту­раль­ных y не боль­ших 20.

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти.

Далее имеем: из (*) Это озна­ча­ет, что все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алю­ми­ния, за сутки они про­из­ве­дут его 20 кг, а ра­бо­чие вто­рой об­ла­сти бри­га­да­ми по 10 и 10 че­ло­век долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния и ни­ке­ля, они до­бу­дут их по 10 кг. Всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля, из них будет про­из­ве­де­но 40 кг спла­ва.

Ответ: 40 кг.

При­ве­дем ре­ше­ние Ольги Ты­нья­но­вой.

Най­дем мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство ме­тал­ла, ко­то­рое может быть до­бы­то в двух об­ла­стях.

В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг ме­тал­ла (алю­ми­ния или ни­ке­ля), по­это­му общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла равно 0,1 · 20 · 10  =  20 кг.

Пусть во вто­рой об­ла­сти до­бы­то х кг алю­ми­ния, тогда на его до­бы­чу будет за­тра­че­но x² часов, и на до­бы­чу ни­ке­ля можно будет за­тра­тить 200 − x² часов, при этом будет до­бы­то кг ни­ке­ля.

Общее ко­ли­че­ство до­бы­то­го во вто­рой об­ла­сти ме­тал­ла со­ста­вит

Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При x  =  10 функ­ция f(x) до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния, рав­но­го 20.

Таким об­ра­зом, во вто­рой об­ла­сти мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство до­бы­то­го ме­тал­ла со­став­ля­ет 20 кг при усло­вии, что до­бы­ва­ет­ся 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля.

Сле­до­ва­тель­но, общее ко­ли­че­ство ме­тал­ла, до­бы­то­го в двух об­ла­стях, не может быть боль­ше 40 кг, а сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство про­из­ве­ден­но­го за­во­дом спла­ва также не может быть боль­ше 40 кг.

По­ка­жем, что ко­ли­че­ство спла­ва может быть равно 40 кг.

При мак­си­маль­ном про­из­вод­стве ме­тал­ла во вто­рой об­ла­сти там будет до­бы­то 10 кг алю­ми­ния и 10 кг ни­ке­ля. Если в пер­вой об­ла­сти все ра­бо­чие будут за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, то его будет до­бы­то 20 кг. Сле­до­ва­тель­но, всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния, и на 1 кг ни­ке­ля будет при­хо­дит­ся 3 кг алю­ми­ния, как и тре­бу­ет­ся для про­из­вод­ства спла­ва.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство спла­ва, ко­то­рое может про­из­ве­сти завод, равно 40 кг.