Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 513352

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Спрятать решение

Решение.

а) Примером таких чисел являются числа 6222 и 6219.

б) Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-либо два таких интересных числа. Пусть \overlineabcd — десятичная запись большего из них, а k — та из цифр a, b, c или d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна d − 1. Так как c ≠ 0, третья цифра этого числа равна c − 1.

Аналогично получаем, что вторая цифра этого числа равна b − 1. Наконец, первая цифра этого числа равна a. Значит, сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел на три меньше суммы чисел большего из них. Пришли к противоречию.

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры интересных четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5, и 7: число 2114 кратно 2 и 7, число 9135 кратно 3 и 5.

Пусть \overlineabcd — десятичная запись какого-либо интересного числа, кратного 11. Тогда

\overlineabcd=1000a плюс 100b плюс 10c плюс d=11 левая круглая скобка 91a плюс 9b плюс c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус a плюс d минус c правая круглая скобка .

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a, b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b + d = a + c, либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l — та из них, которая в паре с k. Пусть m и n — две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку k = l + m + n, имеем k + l > m + n. Значит, k + l = m + n + 11. Вычитая из этого равенства равенство k = l + m + n, получаем l = 11 − l . Следовательно, 2l = 11. Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.

 

Ответ: а) Да, например, 6222 и 6219; б) нет; в) 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513352: 513371 530407 530439 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Яна Ушакова 21.04.2018 19:38

В условии задачи сказано, что интересное число не может иметь в своём составе 0. А в вопросе "В" спрашивается наименьшее кратное, для которого не существует интересного числа. В ответе указано 11, но как интересное число может быть кратно 10, если в составе вообще не может быть 0.

Александр Иванов

Вопрос о наименьшем ПРОСТОМ числе. Число 10 не является простым