Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 513607

Решите неравенство  левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant0.

Спрятать решение

Решение.

Найдём ОДЗ неравенства:

 система выражений 2x плюс 5 больше 0, 2x плюс 5 не равно 1,x в квадрате плюс 4x плюс 5 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше минус 2,5, x не равно минус 2. конец системы .

Применим теорему о знаке логарифма: знак  логарифм по основанию a b на ОДЗ совпадает со знаком произведения  левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка . Имеем:

 левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant0 \undersetОДЗ\mathop равносильно левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 2 левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе \geqslant0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше или равно минус 2. конец совокупности .

С учётом ОДЗ получаем:  минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x\leqslant минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби    или x больше минус 2.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение.

Заметим, что аргумент логарифма не меньше 1: x в квадрате плюс 4x плюс 5= левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1\geqslant1 при любых значениях х. Значит, логарифм положителен, если его основание больше 1, т. е. при x больше минус 2, и отрицателен, если его основание меньше 1, если  минус 2,5 меньше x меньше минус 2.

При x больше минус 2 выражение 3x + 7 положительно, а при  минус 2,5 меньше x меньше минус 2 исходное неравенство равносильно неравенству 3x плюс 7 меньше или равно 0, откуда x меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .

Таким образом, решение исходного неравенства:

 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x\leqslant минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби      или x больше минус 2.

 

Приведём решение методом интервалов.

Найдем ОДЗ неравенства, значения переменной, при котором множители обращаются в 0, и значения переменной, при котором основание логарифма равно 1. Нанесем найденные значения на числовую ось и расставим знаки на промежутках между ними с учетом ОДЗ.

 

Это и даст ответ.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Михаил Вронский 26.11.2016 12:48

При решении методом интервалов, получаются корни -7/3 и чётный -2

По вашему решению получается, что -2 нечётный

В чём я ошибся?

Александр Иванов

-2 является еще и границей ОДЗ