СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 513778

В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2. 

Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF

б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Решение.

а) Поскольку Заметим, что поскольку проекция FC на плоскость ABCD совпадает с прямой AC, а Кроме того, треугольники AFC и ABC равны по трем сторонам, следовательно, Итак, плоскость сечения параллельна двум непараллельным прямым (DB и FC), которые перпендикулярны AF. Значит, и плоскость перпендикулярна AF.

б) Построим это сечение. Проведем через точки M и N прямые, параллельные CF, и отметим точки их пересечения с BF и DF соответственно. Назовем эти точки S и P. Очевидно, откуда тогда и

Отметим точку пересечения MN с AC (точка K) и проведем через нее прямую, параллельную FC. Она пересечет AF в некоторой точке (назовем ее Q). Тогда сечение пирамиды — пятиугольник MNPQS. Осталось найти его площадь. Обозначим за O точку пересечения диагоналей основания.

Поскольку то Поэтому MNPS — прямоугольник (стороны MS и PN равны и параллельны, есть прямой угол) и его площадь составляет

Далее

откуда Пусть KQ пересекает PS в точке T, тогда

и

Окончательно

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.