≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 513780

Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.  

а) Докажите, что BE > BD.

б) Найдите диагональ BD.

Решение.

а) что и требовалось доказать.

б) Как следует из пункта а, точка E лежит на продолжении диагонали BD за точку D. Заметим, что угол A острый (иначе окружность пересекает диагональ внутри параллелограмма). Продлим сторону AD до пересечения с окружностью в точке K. Тогда ABCK — вписанная трапеция, значит,

Обозначим BD за x. Тогда (по теореме о пересекающихся хордах). Тогда высота равнобедренного треугольника CDK равна

Она же является высотой трапеции и треугольника BAD. Найдем теперь двумя способами (через высоту и по формуле Герона) площадь треугольника ABD и приравняем их.

или

Очевидно,

и

поэтому треугольник не получится остроугольным. Значит, единственный возможный ответ

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.