Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514031

Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби , дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: b_4 конец дроби  — различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби , дробь: числитель: b_2, знаменатель: a_2 конец дроби и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: b_4 конец дроби  — различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби , если известно, что  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби , дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби и  дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби  — различные натуральные числа?

Спрятать решение

Решение.

а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ... соответственно. Для этих прогрессий имеем:  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби =1, дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби =3 и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: b_4 конец дроби =4.

б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби или   дробь: числитель: b_2, знаменатель: a_2 конец дроби не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо a_1 больше или равно b_1 и a_2 меньше b_2, либо a_1 больше b_1 и a_2 меньше или равно b_2, и, следовательно, a_2 минус a_1 меньше b_2 минус b_1. Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем

a_4=a_2 плюс 2 левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка меньше b_2 плюс 2 левая круглая скобка b_2 минус b_1 правая круглая скобка =b_4 и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: b_4 конец дроби меньше 1.

Пришли к противоречию.

в) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа c и d натуральные, а  дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби минус дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби и  дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби минус дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби целые и не равные нулю. Имеем

 дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби минус дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби = дробь: числитель: a_1 плюс c, знаменатель: b_1 плюс d конец дроби минус дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби = дробь: числитель: cb_1 минус da_1, знаменатель: b_1 левая круглая скобка b_1 плюс d правая круглая скобка конец дроби и

 дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби минус дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби = дробь: числитель: a_1 плюс 9c, знаменатель: b_1 плюс 9d конец дроби минус дробь: числитель: a_1 плюс c, знаменатель: b_1 плюс d конец дроби = дробь: числитель: 8 левая круглая скобка cb_1 минус da_1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b_1 плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс 9d правая круглая скобка конец дроби

Знаменатели дробей  дробь: числитель: cb_1 минус da_1, знаменатель: b_1 левая круглая скобка b_1 плюс d правая круглая скобка конец дроби и  дробь: числитель: 8 левая круглая скобка cb_1 минус da_1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b_1 плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс 9d правая круглая скобка конец дроби положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа  дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби минус дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби и  дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби минус дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби имеют одинаковый знак, то есть либо 1 меньше или равно дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби меньше дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби меньше дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби , либо 1 меньше или равно дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби меньше дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби меньше дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби . В обоих случаях получаем, что  дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби больше или равно 2

Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... являются прогрессиями 9, 32, ..., 216, ... и 9, 16, ..., 72, ... соответственно, то  дробь: числитель: a_1, знаменатель: b_1 конец дроби =1, дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби =2 и  дробь: числитель: a_10, знаменатель: b_10 конец дроби =3.

Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: a_2, знаменатель: b_2 конец дроби равно 2.

 

Ответ: а) Да, например, 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 514031: 514050 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства