Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 514049

Найдите все значения параметра α из интервала (0; Пи ), при каждом из которых система уравнений

 система выражений x в степени 2 плюс y в степени 2 минус 4(x плюс y) синус альфа плюс 8 синус в степени 2 альфа =2 синус альфа минус 1, дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби =2 синус альфа плюс 4 синус в степени 2 альфа конец системы

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим a= синус альфа , получим систему

 система выражений x в степени 2 плюс y в степени 2 минус 4a(x плюс y) плюс 8a в степени 2 =2a минус 1, дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби =2a плюс 4a в степени 2 . конец системы (*)

Если пара (x; y) — решение системы, то пара (y; x) тоже решение. Следовательно, единственное решение может иметь вид (x; x), где x не равно 0. Пусть (x; x), где x не равно 0 — решение системы. Тогда

 система выражений x в степени 2 плюс x в степени 2 минус 4a(x плюс x) плюс 8a в степени 2 =2a минус 1, дробь: числитель: x, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: x конец дроби =2a плюс 4a в степени 2 , конец системы равносильно система выражений 2(x минус 2a) в степени 2 =2a минус 1,(2a минус 1)(a плюс 1)=0. конец системы

Если a= минус 1, то система решений не имеет, а при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби система имеет единственное решение.

Решим систему (⁎) при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби :

 система выражений x в степени 2 плюс y в степени 2 минус 2(x плюс y) плюс 2=0, дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби =2 конец системы . равносильно система выражений (x минус 1) в степени 2 плюс (y минус 1) в степени 2 =0, дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби =2 конец системы . равносильно система выражений x=1,y=1. конец системы .

При a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби система (⁎) имеет единственное решение.

Решим уравнение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = синус альфа ,0 меньше альфа меньше Пи . Получим  альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби или  альфа = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0