СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514073

Через середину ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой ВD1 проведена плоскость α. 

а) Докажите, что сечением куба плоскостью α является правильный шестиугольник.

б) Найдите угол между плоскостями α и ABC.    

Решение.

а) Отметим середины ребер (назовем их соответственно) и докажем, что они все лежат в одной плоскости, перпендикулярной и образуют правильный шестиугольник.

Поскольку а проекцией на плоскость является то Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер диагонали Поэтому все они лежат в одной плоскости — перпендикулярной к и проходящей через E.

Длины всех сторон шестиугольника равны, поскольку каждая сторона соединяет середины ребер на одной грани и, значит, равна половине диагонали грани.

Наконец,

а

Поэтому стороны треугольника EFK пропорциональны числам поэтому угол шестиугольника равен 120°. Аналогично остальные углы шестиугольника равны 120°.

б) Заметим, что плоскость пересекает плоскость ABC по прямой KI. Отметим точку T — середину AB. Тогда поскольку поскольку в шестиугольнике меньшая диагональ перпендикулярна стороне. Значит,

При этом

поэтому

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.