СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 514078

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?                          

б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 летках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

Решение.

а) В каждой строке можно поставить не более одной ладьи, поэтому всего на доске — не более 8. Пример — ладьи стоят на всех клетках одной из диагоналей.

б) Пусть ладьи занимают a горизонталей и b вертикалей, то есть стоят в прямоугольнике откуда Тогда они не бьют клетки на остальных вертикалях и горизонталях, то есть клеток. Разберем случаи.

1) или Тогда или , и ладьи бьют всю доску.

2) или Тогда или и непобитых клеток не более

3) Тогда , и равенство возможно при Пример — ладьи занимают любые 8 клеток в выбранном на доске квадрате

в) В каждой клетке записано число где a — номер столбца, а b — номер строки (номера считаются слева направо и сверху вниз от 1 до 8). Поскольку ладьи не бьют друг друга, то в роли a и b побывают все числа от 1 до 8. Значит, общая сумма чисел всегда одна и та же и составляет

 

Ответ: а) 8, б) 25, в) 260.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства