Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 514373

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что  дробь: числитель: AP, знаменатель: PD конец дроби = синус D.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть Q — точка пересечения продолжений боковых сторон. Точка Q, центры окружностей и точка P лежат на одной прямой, причём QP — биссектриса прямоугольного треугольника AQD. Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника  дробь: числитель: AP, знаменатель: PD конец дроби = дробь: числитель: QA, знаменатель: QD конец дроби = синус D.

б) Пусть окружность с центром O1 радиуса R = 3 касается боковой стороны AB в точке E, а основания AD — в точке M; окружность радиуса r = 1 с центром O2 касается боковой стороны AB в точке F, а основания BC — в точке N. Отпустим перпендикуляр O2H из центра меньшей окружности на отрезок O1E.

Тогда

O_1H=O_1E минус HE=O_1E минус O_2F=R минус r=3 минус 1=2,

а так как линия центров окружностей проходит через точку их касания,

O_1O_2=R плюс r=3 плюс 1=4.

Значит, EF=O_2H= корень из (O_1O_2 в степени 2 минус O_1H в степени 2 ) = корень из (16 минус 4) =2 корень из 3 .

Обозначим \angle AQP=\angle HO_2O_1= альфа . Тогда  тангенс альфа = дробь: числитель: O_1H, знаменатель: O_2H конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби . Получаем:

\angle BQC=2 альфа ,

 

\angle BCD=90 градусов плюс 2 альфа ,

 

\angle O_2CN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BCD=45 градусов плюс альфа .

Из треугольника O2CN находим:

NC=O_2N\ctg(45 градусов плюс альфа )=O_2N тангенс (45 градусов минус альфа )= дробь: числитель: 1 минус тангенс альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс альфа конец дроби = дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 3 плюс корень из 3 конец дроби =2 минус корень из 3 .

Следовательно, BC=BN плюс NC=1 плюс 2 минус корень из 3 =3 минус корень из 3 . Аналогично, \angle O_1DM=45 градусов минус альфа ,

MD=O_1M\ctg(45 градусов минус альфа )=O_1M тангенс (45 градусов плюс альфа )=3 умножить на дробь: числитель: 1 плюс тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс альфа конец дроби =3 умножить на дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 3 минус корень из 3 конец дроби =6 плюс 3 корень из 3 ;

 

AD=AM плюс MD=3 плюс 6 плюс 3 корень из 3 =9 плюс 3 корень из 3 .

Учитывая, что AB=AE плюс EF плюс FB=R плюс O_2H плюс r=3 плюс 2 корень из 3 плюс 1=4 плюс 2 корень из 3 , получаем

S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AD плюс BC) умножить на AB= дробь: числитель: 12 плюс 2 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби умножить на (4 плюс 2 корень из 3 )=30 плюс 16 корень из 3 .

 

Ответ: б) 30 плюс 16 корень из 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники