СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514373

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основанеи AD в точке P. Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Решение.

а) Пусть Q — точка пересечения продолжений боковых сторон. Точка Q, центры окружностей и точка P лежат на одной прямой, причём QP — биссектриса прямоугольного треугольника AQD. Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника

б) Пусть окружность с центром O1 радиуса R = 3 касается боковой стороны AB в точке E, а основания AD — в точке M; окружность радиуса r = 1 с центром O2 касается боковой стороны AB в точке F, а основания BC — в точке N. Отпустим перпендикуляр O2H из центра меньшей окружности на отрезок O1E.

Тогда

а так как линия центров окружностей проходит через точку их касания,

Значит,

Обозначим Тогда Получаем:

 

 

Из треугольника O2CN находим:

Следовательно, Аналогично,

 

Учитывая, что получаем

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 514373: 519901 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015