Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514387

Найдите все значений a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений (y в степени 2 минус xy плюс x минус 3y плюс 2) корень из { x плюс 3}=0,a минус x минус y=0 конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

(y в степени 2 минус xy плюс x минус 3y плюс 2) корень из { x плюс 3}=0 равносильно (y минус 1)(y минус x минус 2) корень из { x плюс 3}=0 равносильно

 

 равносильно система выражений совокупность выражений y=x плюс 2,y=1,x= минус 3, конец системы .x \ge минус 3. конец совокупности .

Исходная система имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда графики функций y=x плюс 2 и y=1 и прямая x= минус 3 имеют с прямой y= минус x плюс a две различных точки пересечения на области x больше или равно минус 3 (см. рис.)

Из рисунка видно, что при a\le минус 4 система имеет одно решение;

при  минус 4 меньше a\le минус 2два решения;

при  минус 2 меньше a меньше 0 − три решения;

при a=0два решения;

при  a больше 0 − три решения.

 

Ответ:  минус 4 меньше a\le минус 2; a=0.

 

 

Приведём другое (аналитическое) решение:

 

Запишем первое уравнение в виде (y минус 1)(y минус x минус 2) корень из { x плюс 3}=0. Решения первого уравнения системы совпадают с решениями уравнений y=1, y=x плюс 2 и x= минус 3 при условии x\ge минус 3.

При x= минус 3 уравнение a минус x минус y=0 имеет единственное решение при любом значении a.

При y=1 уравнение a минус x минус y=0 принимает вид a минус x минус 1=0, откуда x=a минус 1. C учётом условия x\ge минус 3 получаем, что при a меньше минус 2 решений нет, а при a\ge минус 2 имеется одно решение.

При y=x плюс 2 уравнение a минус x минус y=0 принимает вид a минус x минус x минус 2=0, откуда x= дробь, числитель — a, знаменатель — 2 минус 1. C учётом условия x\ge минус 3 получаем, что при a меньше минус 4 решений нет, а при a\ge минус 4 имеет одно решение.

Определим значения a, при которых возможны совпадения решений из трёх разобранных выше случаев. Имеем: либо x= минус 3, y=1, откуда a= минус 2; либо x= минус 3, y=x плюс 2= минус 1, откуда a= минус 4; либо y=1, y=x плюс 2, откуда x= минус 1, a=0.

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при a\le минус 4, имеет два решения при  минус 4 меньше a\le минус 2 и a=0, имеет три решения при  минус 2 меньше a меньше 0 и a больше 0.

 

Ответ:  минус 4 меньше a\le минус 2; a=0.

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация прямых