Найдите все значений a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Преобразуем первое уравнение системы:
Исходная система имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда графики функций и
и прямая
имеют с прямой
две различных точки пересечения на области
(см. рис.)
Из рисунка видно, что при система имеет одно решение;
при − два решения;
при − три решения;
при − два решения;
при − три решения.
Ответ:
Приведём другое (аналитическое) решение:
Запишем первое уравнение в виде Решения первого уравнения системы совпадают с решениями уравнений
и
при условии
При уравнение
имеет единственное решение при любом значении a.
При уравнение
принимает вид
откуда
C учётом условия
получаем, что при
решений нет, а при
имеется одно решение.
При уравнение
принимает вид
откуда
C учётом условия
получаем, что при
решений нет, а при
имеет одно решение.
Определим значения a, при которых возможны совпадения решений из трёх разобранных выше случаев. Имеем: либо
откуда
либо
откуда
либо
откуда
Таким образом, исходная система имеет единственное решение при имеет два решения при
и
, имеет три решения при
и
Ответ: