Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514607

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

 система выражений (x минус 2)(y плюс 2x минус 4)= |x минус 2| в степени 3 ,y=x плюс a конец системы .

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

 

Рассмотрим три случая.

1) Если x больше 2, то получаем уравнение

(x минус 2)(y плюс 2x минус 4)=(x минус 2) левая круглая скобка x в степени 2 минус 4x плюс 4 правая круглая скобка равносильно y=x в степени 2 минус 6x плюс 8.

Полученное уравнение задаёт параболу y=x в степени 2 минус 6x плюс 8.

 

2) Если x=2, то координаты любой точки прямой x=2 удовлетворяют уравнению

3) Если x меньше 2, то получаем уравнение

(x минус 2)(y плюс 2x минус 4)=(2 минус x) левая круглая скобка x в степени 2 минус 4x плюс 4 правая круглая скобка равносильно y= минус x в степени 2 плюс 2x.

Полученное уравнение задаёт параболу y= минус x в степени 2 плюс 2x.

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу \omega_{1} параболы y=x в степени 2 минус 6x плюс 8 c концом в точке A(2;0), во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 2, в третьем — дугу \omega_{2} параболы y= минус x в степени 2 плюс 2x с концом в точке А (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой y=x или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −2.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения x в степени 2 минус 6x плюс 8 = x плюс a и  минус x в степени 2 плюс 2x = x плюс a как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при a= минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 4 и a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 прямые m касаются дуг \omega_{1} и \omega_{2} соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой \omega_{1} при a= минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 4 и a больше минус 2, имеет две общие точки с дугой \omega_{1} при  минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 4 меньше a меньше минус 2, имеет одну общую точку с дугой \omega_{2} при a меньше минус 2 и a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 , имеет две общие точки с дугой \omega_{2} при  минус 2 меньше a меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг \omega_1 и \omega_2 с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

 минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 4 меньше a меньше минус 2,  минус 2 меньше a меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

 

Ответ:  минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 4 меньше a меньше минус 2,  минус 2 меньше a меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .


Аналоги к заданию № 514607: 514614 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Макс Пакин 25.03.2017 12:01

Это не совсем ошибка, это задание можно решить проще. Можно заменить (x-2) на t, тогда система приобретает вид:

t(y+2t)=|t|^3

y=t+2+a

Раскрываем легко модуль, сразу видим t=0 и тд, как у вас. Тк каждому t соответствует один x, то количество корней тоже. Ответ верный.

Матецкий Леонид 13.09.2017 16:09

в пункте 3) должна быть первая скобка не (х-2) а (2-х)

Александр Иванов

Первая скобка (в левой части) во всех случаях должна быть одинаковая