СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514607

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

 

Рассмотрим три случая.

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

 

2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению

3) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу параболы c концом в точке во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 2, в третьем — дугу параболы с концом в точке А (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −2.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения и как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при и прямые m касаются дуг и соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 514607: 514614 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 601 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых», Комбинация «кривых»
Спрятать решение · ·
Макс Пакин 25.03.2017 12:01

Это не совсем ошибка, это задание можно решить проще. Можно заменить (x-2) на t, тогда система приобретает вид:

t(y+2t)=|t|^3

y=t+2+a

Раскрываем легко модуль, сразу видим t=0 и тд, как у вас. Тк каждому t соответствует один x, то количество корней тоже. Ответ верный.

Матецкий Леонид 13.09.2017 16:09

в пункте 3) должна быть первая скобка не (х-2) а (2-х)

Александр Иванов

Первая скобка (в левой части) во всех случаях должна быть одинаковая