Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514875

Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и АD — основания) равна длине её средней линии. 

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. 

б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон ABBC и СD трапеции, если известно, что BC = 4, АD = 6.

Решение.

а) Проведем прямую CE параллельно BD. Тогда BCED — параллелограмм, значит, CE=BD=AC, то есть треугольник ACE равнобедренный. При этом его высота равна половине основания, поскольку AE=AD плюс DE=AD плюс BC. Значит, она делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, \angle ACH=\angle ECH=45 в степени \circ , \angle ACE=90 в степени \circ , то есть AC перпендикулярна CE. Тогда и AC перпендикулярна BD.

б) Продлим AB и CD до пересечения в точке T. Тогда треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом BC:AD=2:3. Значит, и их высоты отличаются в полтора раза, но разница между ними равна высоте трапеции, то есть  дробь, числитель — 4 плюс 6, знаменатель — 2 =5. Значит, высота BTC равна 10. Для треугольника BTC указанная окружность является вневписанной, поэтому ее радиус можно найти по формуле  дробь, числитель — S_{BTC}, знаменатель — p_{BTC минус BC}. Получаем:

r= дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на 10, знаменатель — дробь, числитель — 2BT плюс BC {2, знаменатель — минус BC}= дробь, числитель — 40, знаменатель — 2BT минус 4 = дробь, числитель — 20, знаменатель — корень из { 2 в степени 2 плюс 10 в степени 2 минус 2}= дробь, числитель — 10, знаменатель — корень из { 26 минус 1}.

Ответ: б)  дробь, числитель — 10, знаменатель — корень из { 26 минус 1}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 162.
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Подобие, Треугольники