СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514887

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое  ребро BB1 равно 12. На  ребре BB1 отмечена точка M так, что BM : B1M = 1 : 7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1

б) Найдите объем пирамиды MACD1.

Решение.

а) Обозначим точку пересечения диагоналей основания за O и введем координаты с началом в и осями, направленными по и высоте призмы. Тогда координаты некоторых точек будут такими:

Составим уравнение плоскости Пусть это тогда (подставляя все три точки) находим:

Из последних двух уравнений можно взять и тогда первое уравнение тоже выполнится. Итак, уравнение плоскости нормаль к плоскости Вектор имеет координаты поэтому он коллинеарен нормали, что и требовалось доказать.

б) Найдём объём пирамиды MACD1:

Ответ: б) 54.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 164.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Перпендикулярность прямой и плоскости, Прямая призма