Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514889

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.  

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

Решение.

а) Назовем центры окружностей O_1 и O_2, точки касания с внешней касательной K и N соответственно, точки касания с внутренними — за L, L_1, M, M_1, точку пересечения внутренних касательных и линии центров за T. (см. рисунок). Очевидно, O_1KNO_2  — прямоугольная трапеция. Опустим из середины O_1O_2 перпендикуляр на KN  — это будет средняя линия, поэтому для отрезка KN это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что KA=NB, тогда и для отрезка AB это будет серединный перпендикуляр.

Для этого воспользуемся следующим фактом: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Значит, AM_1=AN, BL_1=BK, L_1M=LM_1 (по два отрезка из точки T). Тогда:

AK=BK минус BA=BL_1 минус BA=BM плюс ML_1 минус BA=

=BN плюс LM_1 минус BA=BN плюс AM_1 минус AL минус BA=

=BN плюс AN минус AL минус BA=BN плюс AN минус BA минус AK=BN плюс BN минус AK.

Итак, AK=2BN минус AK, откуда AK=BN.

б) Поскольку O_1T:TO_2=3:6, находим O_1T=5, TO_2=10. Тогда, по теореме Пифагора, LT= корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=4, аналогично, MT=8. Тогда L_1M=12. Но:

L_1M=L_1B минус BM=BK минус BN=BA плюс AK минус BN=BA.

Поэтому BA=12.

 

Ответ: б) 12.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Треугольники