Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515108

В треугольнике АВС ВА = 8, ВС = 7, угол B равен 120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М

а) Докажите, что АМ = ВС

б) Найдите  длину  отрезка  с  концами  на  сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

Решение.

а) По теореме косинусов, AC в степени 2 =8 в степени 2 плюс 7 в степени 2 минус 2 умножить на 7 умножить на 8 косинус 120 в степени \circ =169, поэтому AC=13. Теперь можем найти AM:

AM= дробь, числитель — AB плюс AC минус BC, знаменатель — 2 =7=BC,

что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов, 49=64 плюс 169 минус 2 умножить на 8 умножить на 13 умножить на косинус \angle A, откуда  косинус \angle A= дробь, числитель — 23, знаменатель — 26 ,  синус \angle A= дробь, числитель — 7 корень из { 3}, знаменатель — 26 . Пусть искомый отрезок имеет концы P, Q на AB, AC соответственно. Пусть PQ=x, тогда AQ= дробь, числитель — 26x, знаменатель — 7 корень из { 3 }; AP= дробь, числитель — 23x, знаменатель — 7 корень из { 3 }.

Для треугольника APQ данная окружность является вневписанной, поэтому ее радиус можно найти по формуле

r= дробь, числитель — S_{APQ}, знаменатель — p_{APQ минус PQ}= дробь, числитель — AP умножить на PQ, знаменатель — AP плюс AQ минус PQ = дробь, числитель — 23x, знаменатель — 7 корень из { 3 (7 минус корень из { 3})}.

C другой стороны, для исходного четырехугольника это вписанная окружность и ее радиус равен

 

 дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p_{ABC }= дробь, числитель — корень из { 14 умножить на 1 умножить на 7 умножить на 6}, знаменатель — 14 = корень из { 3},

поэтому

x= дробь, числитель — 7 корень из { 3}(7 минус корень из { 3}), знаменатель — 23 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 7 корень из { 3}(7 минус корень из { 3}), знаменатель — 23 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.
Методы геометрии: Метод площадей, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в четырехугольник, Треугольники