Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515115

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем ∠OCK = ∠ODK.

а) Докажите, что ∠CKB = ∠DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что ОК = 3,6, ВК = 9,6, ∠OCK = ∠ODK = 30°.

Решение.

а) Из равенства углов следует, что точки  D,C,O,K лежат на одной окружности. Тогда  \angle CKA равен половине дуги  CDO, а  \angle DKA — половине дуги  DO, то есть дуги  CKO, поскольку хорды  CO и  DO равны (это радиусы изначальной окружности). Поэтому сумма этих двух углов равна  180 в степени \circ и \angle CKB=180 в степени \circ минус \angle CKA=\angle DKA, что и требовалось доказать.

Точки C и  D можно поменять местами, но от этого к углам добавится одинаковый угол  DCK, так что они по-прежнему будут равны.

б) Если точка K лежит на  BO, то радиус большой окружности равен  OK плюс KB=13,2, радиус маленькой —  дробь, числитель — KO, знаменатель — 2 синус OCK =3,6. Но в такой окружности не может быть хорды  OC длиной  13,2. Значит, точка K лежит на  AO и R=9,6 минус 3,6=6. Тогда

 синус \angle AKD= синус \angle DKO= дробь, числитель — DO, знаменатель — 2 умножить на 3,6 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 .

Аналогично и  синус \angle BKC= дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 . Тогда

 синус \angle KOC= синус (150 в степени \circ минус \arcsin дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 )= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 11}, знаменатель — 6 плюс дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 = дробь, числитель — корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 .

Синус угла  \angle COB такой же (углы смежные).

 синус \angle DOK= синус (\angle DKA минус 30 в степени \circ )= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 11}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — минус корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 .

Наконец,

 синус \angle DOC= синус (180 в степени \circ минус \angle COB минус \angle DOA)= синус (\angle COB плюс \angle DOA) =

 

= дробь, числитель — корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — минус корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 правая круглая скобка в степени 2 } плюс дробь, числитель — минус корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 правая круглая скобка в степени 2 }=

 

= дробь, числитель — ( корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}) корень из { 58 плюс 10 корень из { 33}} плюс ( минус корень из { 11} плюс 5 корень из { 3}) корень из { 58 минус 10 корень из { 33}}, знаменатель — 144 =

 

= дробь, числитель — ( корень из { 11} плюс 5 корень из { 3})( корень из { 33} плюс 5) плюс ( минус корень из { 11} плюс 5 корень из { 3})( корень из { 33} минус 5), знаменатель — 144 = дробь, числитель — 40 корень из { 11}, знаменатель — 144 = дробь, числитель — 5 корень из { 11}, знаменатель — 18 .

Площадь чётырёхугольника с вершинами в точках А, В, С, D равна

S_{ADCB}=S_{AOD} плюс S_{DOC} плюс S_{BOC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 6 в степени 2 ( синус \angle AOD плюс синус \angle COD плюс синус \angle COB)=

 

=18( дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 6 плюс дробь, числитель — 5 корень из { 11}, знаменатель — 18 )=15 корень из { 3} плюс 5 корень из { 11}.

 

Ответ: б) 15 корень из { 3} плюс 5 корень из { 11}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166.
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники