Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515137

В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω1 в точке Е.  Окружность  ω2,  описанная  около  треугольника  АDE,  пересекает  продолжение стороны АС в точке F.  

А) Докажите, что  DE — биссектриса угла FDB

Б) Найдите радиус окружности ω2, если известно, что АС = 6, АF = 2.

Решение.

а) Угол  \angle FDE=\angle FAE=180 в степени \circ минус \angle CAE=\angle CBE. Угол  CBE опирается на дугу  CE, равную сумме дуг  CA и  AE, то есть сумме дуг  CA и  BE (поскольку E лежит на биссектрисе ACB). Следовательно,  \angle CBE=\angle BDE (они оба равны полусумме дуг CA и BE). Итак,  \angle FDE=\angle BDE, что и требовалось доказать.

б) В силу того, что четырехугольник FADE является вписанным, получаем  \angle FED=\angle CAB=\angle CEB. Тогда треугольники  EDF и  EDB равны по второму признаку (общая сторона и равные углы, прилежащие к ней, см. п.а). То есть  DF=DB. Тогда треугольники  CDB и  CDF равны по стороне и двум углам ( \angle CDF=\angle CDB так как оба угла равны180 в степени circ минус \angle EDF, а  \angle FCD=\angle BCD, поскольку CD — биссектриса). Итак,  CB=CF=2 плюс 6=8. По теореме косинусов, обозначая  AB=x, получим

64=36 плюс x в степени 2 минус 12x умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 равносильно x в степени 2 минус 6 корень из { 2}x минус 28=0 равносильно

 равносильно x=3 корень из { 2} плюс корень из { 46} (второй корень отрицательный).

По свойству биссектрисы  BD= дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 умножить на (3 корень из { 2} плюс корень из { 46}). Тогда по теореме синусов для треугольника FDE:

R= дробь, числитель — FD, знаменатель — 2 синус 45 в степени \circ = дробь, числитель — BD, знаменатель — корень из { 2 }= дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 (3 плюс корень из { 23}).

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 (3 плюс корень из { 23}).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 169.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов, Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники