Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515204

Дан квадрат АВСD. Точки КLM — середины сторон АВВС и СD соответственно. АL пересекает DK в точке РDL пересекает АМ в точке ТАМ пересекает DK в точке О

А) Докажите, что точки РL, TO лежат на одной окружности; 

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ = 4.

Решение.

а) Заметим, что  \Delta KDA=\Delta LAB, поэтому

 \angle APD=180 в степени \circ минус \angle PDA минус \angle PAD=180 в степени \circ минус \angle LAB минус \angle PAD=180 в степени \circ минус \angle BAD=90 в степени \circ .

Аналогично  \angle DTO=90 в степени \circ , поэтому в четырехугольнике  LPOT есть два противоположных угла по  90 в степени \circ . Значит он вписанный.

б) Картинка симметрична относительно прямой  LT, поэтому  LP плюс TO=LT плюс PO и вписанная окружность действительно есть. Заметим, что KMDA — прямоугольник, поэтому точка  O находится ровно посредине между прямыми  KM и  AD, поэтому  LO= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 CD=3. Далее,  DP:PK=DA в степени 2 :AK в степени 2 =4:1 и при этом  DK= корень из { 4 в степени 2 плюс 2 в степени 2 }= корень из { 20}.

 PO=KD минус KP минус OD=KD минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 KD минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KD= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 KD= дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 5 }.

По теореме Пифагора из треугольника  LPO имеем  LP= корень из { 9 минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 }= дробь, числитель — 6, знаменатель — корень из { 5 }. Теперь найдем радиус по известной формуле

 дробь, числитель — S_{LTOP}, знаменатель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 P_{LTOP }= дробь, числитель — 2S_{LPO}, знаменатель — LP плюс PO = дробь, числитель — LP умножить на PO умножить на корень из { 5}, знаменатель — 9 = дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

Ответ: б)  дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 170.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Треугольники