СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 515649

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение.

а) Очевидно, проекция L на плоскость ABCD лежит на AC, поэтому проекция OL на плоскость основания пирамиды совпадает со второй диагональю (AC) и перпендикулярна OB, тогда по теореме о трех перпендикулярах и

б) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам AD, AB и параллельно высоте SO (обозначим ее длину за ). Тогда координаты точек будут и Найдем угол между ними по формуле

 

По условию, этот же косинус равен с точностью до знака.

Решаем уравнение

 

Итак, высота пирамиды равна поэтому апофема равна и площадь поверхности равна

 

Ответ: 80.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).