Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 515652

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

Спрятать решение

Решение.

Отметим, что всех рабочих первой области необходимо направить на добычу алюминия — за единицу времени они добывают его в три раза больше, чем никеля, а алюминий с никелем взаимозаменяемы. За сутки они добудут Масса металлов равна 0,3 умножить на 5 умножить на 90=135 кг алюминия.

Пусть во второй области y человек заняты на добыче алюминия, за 5 часов они добудут  корень из (5y) кг. Тогда остальные 90  − y человек заняты на добыче никеля, за 5 часов они добудут его  корень из (5(90 минус y)) кг.

Найдем наибольшее на значение функции f(y)= корень из (5y) плюс корень из (450 минус 5y) для натуральных y, не превосходящих 90. Имеем:

f'(y)= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (5y) конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (450 минус 5y) конец дроби правая круглая скобка =0.

Найденная производная равна нулю, если  корень из (450 минус 5y) = корень из (5y) , то есть при 450 минус 5y=5y, откуда y=45. Изобразим поведение функции на рисунке. Заметим, что f возрастает на [0; 45] и убывает на [45; 90]. Следовательно, f_наиб=f_max=f(45)=30 кг.

Тем самым, во второй области 45 рабочих необходимо направить на добычу алюминия, и 45 — на добычу никеля. За смену они добудут 30 кг металлов.

Общая масса металлов составляет 135 + 30 = 165 (кг).

 

Ответ: 165 кг.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513298: 513301 515652 515747 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С5., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор