СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 515744

Ос­но­ва­ние пря­мой четырёхуголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B1D1 равно 5.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, делит от­ре­зок BD1 в от­но­ше­нии 1 : 7, счи­тая от вер­ши­ны D1.

б) Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

Решение.

Сразу отметим, что данное в условии расстояние — высота призмы.

а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам Тогда координаты вершин будут Значит, прямая имеет уравнение а перпендикулярная ей плоскость — уравнение Для того, чтобы плоскость проходила через точку нужно взять

Точка, делящая в отношении имеет координаты Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.

 

б) Уравнение плоскости основания призмы По формуле найдем косинус угла

 

Ответ:

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Прямая четырехугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между плоскостями