Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 515787

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и (n + 16)2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двухзначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

Спрятать решение

Решение.

а) Например, число 17.

б) Если два числа дают одинаковых остаток при делении на 200, то их разность будет делиться на 200. Имеем:

 левая круглая скобка n плюс 16 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате =32 левая круглая скобка n плюс 8 правая круглая скобка ,

 дробь: числитель: 32 левая круглая скобка n плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби = дробь: числитель: 4 левая круглая скобка n плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: 25 конец дроби .

Следовательно, n плюс 8делится на 25, откуда n=25k минус 8. Тогда:

 система выражений 25k минус 8 больше или равно 100,25k минус 8 меньше или равно 999 конец системы . равносильно система выражений k больше или равно дробь: числитель: 108, знаменатель: 25 конец дроби ,k меньше или равно дробь: числитель: 1007, знаменатель: 25 конец дроби конец системы . \undersetk принадлежит N\mathop равносильно 5 меньше или равно k меньше или равно 40.

Таким образом, существует 36 чисел.

в) По условию  дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате , знаменатель: 200 конец дроби = дробь: числитель: m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби = дробь: числитель: 2nm плюс m в квадрате , знаменатель: 200 конец дроби  — целое, поэтому m — четное, т. е. m=2k. Имеем:

 дробь: числитель: 4nk плюс 4k в квадрате , знаменатель: 200 конец дроби = дробь: числитель: nk плюс k в квадрате , знаменатель: 50 конец дроби = дробь: числитель: k левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка , знаменатель: 2 умножить на 25 конец дроби  — целое, m — двузначное, поэтому 5 меньше или равно k меньше или равно 49.

 

1) Пусть k = 25, тогда n может быть любым трехзначным нечетным числом, которых гораздо больше, чем 36.

2) Пусть k не равно 25, но кратно пяти. Значит, (n + k) кратно 10. В зависимости от k подойдут либо все четные трехзначные числа, делящиеся на 5, либо нечетные, делящиеся на 5. В любом случае таких чисел больше 36.

3) Пусть k не кратно 5, k — нечетное, но сумма (n + k) кратна 50. Поскольку k принадлежит левая квадратная скобка 5;49 правая квадратная скобка , то (n + k) с учетом условия 150\leqslant левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка меньше или равно 1000 принимает все значения, кратные 50, причем на одно значение — одно значение m. Следовательно, для каждого k возможно 18n, что не подходит по условию задачи.

4) Пусть k не кратно 5, k — четное, и сумма (n + k) кратна 25. Рассуждая аналогично пункту 3) при k принадлежит левая квадратная скобка 6;24 правая квадратная скобка , и  левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка 125;1000 правая квадратная скобка , возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. При k принадлежит левая квадратная скобка 26;48 правая квадратная скобка , и  левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка 150;1025 правая квадратная скобка возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. В таблице представлены подходящие k и соответствующие им m. Их 18.

 

k6812141618222426283234363842444648
m121624283236444852566468727684889296

 

Ответ: а) 17; б) 36; в) 18.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства