Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 515801

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно  корень из (730) .

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной 2a равно  корень из (R в квадрате минус a в квадрате ) . Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и B_1 — середины хорд, B — проекция B_1 на другое основание цилиндра. Тогда AB=12\pm 5, AB_1= корень из (AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате ) = корень из (21 в квадрате плюс (12\pm 5) в квадрате ) = корень из (730) , поэтому следует выбирать знак  плюс , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

 

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно, и AB_1 тоже. Поэтому

 альфа =\angle BAB_1=\arctg дробь: числитель: BB_1, знаменатель: AB конец дроби =\arctg дробь: числитель: 21, знаменатель: 17 конец дроби .

Ответ: б)\arctg дробь: числитель: 21, знаменатель: 17 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 9. (Часть C).