СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 516802

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. рублей в конце года В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет тыс. рублей.

Найдем производную полученного выражения:

Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке положительна при и отрицательна при Следовательно, возрастает на и убывает на Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств и гарантирует, что для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:

(*)

Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21 года больше, чем доход при их продаже в конце 20 и 22 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.

Например, рассмотрим разность предполагаемых доходов от продажи ценных бумаг в конце года и года :

Первый множитель положителен, второй может менять знак. Положительность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, меньше дохода при их продаже в следующем году. Отрицательность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, больше дохода, который можно получить при продаже бумаг в следующем году.

Пусть Поскольку квадратный трёхчлен имеет единственный корень на положительной полуоси, и потому если для некоторого натурального числа k выполнено неравенство то для любого выполнено неравенство Из этого следует, что если доход при продаже акций в какой-то год оказался менее выгодным, чем доход при их продаже в предыдущий год, то и во все последующие годы продавать акции будет менее выгодно.

Поскольку ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года, должны быть одновременно выполнены неравенства и то есть и Значит, и откуда

Приведём другое рассуждение. Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продает ценные бумаги, а хранит их:

Полученное отношение монотонно убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу показанного убывания, если момент продажи наступил в конце 21 года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже. Поэтому решения двойного неравенства

дадут искомые значения r. Первое из этих неравенств означает, что доход от хранения ценных бумаг в течение 22-го года принесет меньше прибыли, чем в случае их продажи в конце 21-го года, — ждать не имеет смысла, поскольку доходность стала меньше банковской и будет меньше во все следующие годы. Второе неравенство означает, что раньше продавать тоже не имело смысла — доход от хранения ценных бумаг в 21-м году превышает доход, который был бы получен от банка, и так было все предыдущие годы.

Осталось заметить, что


Аналоги к заданию № 516802: 517833 Все

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · ·
Фидан Имамов 08.05.2017 19:26

В пояснении написано что нельзя просто перейти к неравенствам и почему-то написано что об этом говориться в условиии. Но в условии есть предложение, которое доказывает обратное:''Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года".Ведь из этого предложения следует что сумма будет наибольшей если продать ценные бумаги в конце 21 года, то есть будет больше сумм, у которых ценные бумаги проданы в другие года. Поэтому я считаю что переход сразу к неравенствам вполне логичен.