Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.
а) Обозначим ∠CBD = α. Треугольник BMD равнобедренный, поэтому ∠DBM = ∠BDM = ∠CBD = α.
Прямоугольные треугольники ACB и BDA равны по катету и гипотенузе, поэтому ∠ACB = ∠ADB = α.
Пусть H — точка пересечения BM и AC. Тогда BH — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Значит, ∠ABH = ∠ACB = α. Следовательно,
б) Имеем 
Из прямоугольного треугольника CMD находим 
Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Расстояние от центра O прямоугольника ABCD до прямой CM равно высоте OP треугольника CMO. Площадь треугольника CMO равна половине площади треугольника ACM:
Ответ: 