Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517425

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

Спрятать решение

Решение.

а) Площадь многоугольника M равна 1292=4\times 17\times 19. Например, это может быть прямоугольник 17\times 76.

б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны 90 градусов .Пусть n — число вершин многоугольника М. Тогда 180 градусов левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка =90 градусов n, откуда n=4, значит, многоугольник М — четырёхугольник,все углы которого равны 90 градусов, т. е. прямоугольник. Тем самым, многоугольник М имеет 4 стороны.

в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть a и b — длины сторон прямоугольникаM. Тогда ab=1292, а периметр прямоугольника М равен 2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка . Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел a и b их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, т. е. чем меньше величина |a минус b|. Действительно, пусть ab=cd и |a минус b| меньше |c минус d|. Тогда  левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате меньше левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка в квадрате , откуда a в квадрате плюс b в квадрате меньше c в квадрате плюс d в квадрате ,a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате меньше c в квадрате плюс 2cd плюс d в квадрате , левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате меньше левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка в квадрате , и, следовательно, a плюс b меньше c плюс d.

Можно считать, что a больше или равно b. В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами a=1292,b=1. Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого a минус b принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение a минус b достигается при a=38,b=34. Периметр такого прямоугольника равен 144.

 

Другое решение пункта в):

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда ab=1292, а периметр прямоугольника М равен 2a плюс 2b=2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 1292, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка , где a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x плюс дробь: числитель: 1292, знаменатель: x конец дроби на отрезке [1; 1292]. Её производная:f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 1292, знаменатель: x в квадрате конец дроби . Так как на рассматриваемом отрезке f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 при x= корень из 1292, f' левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0 при 1 меньше или равно x меньше корень из 1292 и f' левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 при  корень из 1292 меньше x меньше или равно 1292, своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке x= корень из 1292.

Поскольку f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 1292 правая круглая скобка =1293, число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что 35 меньше корень из 1292 меньше 36 и ближайшие слева и справа к  корень из 1292 натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку f левая круглая скобка 34 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 38 правая круглая скобка =72, наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

 

Ответ: а) Прямоугольник 17\times 76, в) 2586; 144.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: РЕШУ ЕГЭ
Классификатор алгебры: Числа и их свойства