Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517429

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а) 1989?

б) 2012?

в) 2016?

Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.

Спрятать решение

Решение.

Пусть Дима задумал цифру х, а Никита — цифру у. Не теряя общности, можно положить x больше или равно y. Тогда Маша вычисляла произведение xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка . Кроме того, множители не равны нулю, и, значит, 0 меньше y меньше x меньше или равно 9.

а) Уравнение xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =1989 не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.

б) Уравнение xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2012 также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =4 умножить на 503. Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.

в) Уравнение xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2016 запишем в виде xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате умножить на 7.

Заметим, что если из чисел x, y, x минус y и x плюс y хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а, следовательно, он делится и на 9. Кроме того, так как 7 ― простое число, один из сомножителей левой части делится на 7.

Поскольку 0 меньше y меньше x меньше или равно 9, множители y и x минус y не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится либо x плюс y, либо х. Рассмотрим эти варианты.

Если x плюс y делится на 9, то x плюс y=9, так как x плюс y меньше 18. В этом случае для делимости на 7 либо x=7 (тогда x=7, y=2 ― не подходит), либо x минус y=7 (x=8, y=1 ― не подходит).

Если же x=9, то для делимости на 7 либо y=7 (подходит), либо x минус y=7 (откуда y=2 ― не подходит), либо x плюс y=14 (откуда y=5 ― не подходит).

Тем самым, только пара  левая круглая скобка 9;7 правая круглая скобка является решением.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) да, 9 и 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: РЕШУ ЕГЭ
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Георгий Хлестов 17.03.2019 19:53

В решении пункта Б, говориться что по условию числа не x, y не больше 9,хотя в задании об этом не сказанно. Дополните, пожалуйста, условие.

Александр Иванов

По условию x и y - это ЦИФРЫ.