Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 6MB и 2DN = 3CN.
а) Докажите, что AD = 3BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен 
а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.
Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому
то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 6x, DN =
откуда y = 2x. Получаем: BK = BM = x, AL = AM = 6x, CK = CN = 2x, DL = DN = 3x, BC = BK + KC = 3x, AD = AL + LD = 9x, то есть AD = 3BC.
б) Заметим, что 
поэтому 
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 3BP, AB = 2BP, BP =
PN = PM =
Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:
Значит, 
Ответ: б) 18.