Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 518119

а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.

б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.

Спрятать решение

Решение.

а) Например, из числа 7814236 получается каждое из чисел: 123, 426, 786.

б) В перечисленных числах встречаются все цифры от 1 до 9, значит, каждая из этих цифр должна присутствовать в девятизначном числе по одному разу. Тогда 3 должна следовать в записи после 1, 5 — после 3, 7 — после 5, 1 — после 7. Таким образом, единица должна следовать в записи после самой себя, что невозможно.

в) Заметим, что из искомого числа должны получаться числа 11, 22 и 33, поэтому в его записи должны присутствовать не менее двух единиц, двух двоек и двух троек и каждая из остальных цифр. То есть в нём должно быть не меньше 13 цифр.

Тринадцатизначное число 1231234056789 удовлетворяет условию задачи.

Покажем, что не существует меньше числа, удовлетворяющего условию задачи. Для каждого разряда числа, начиная от старшего, будем выбирать наименьшую возможную цифру.

Первая цифра не может быть меньше 1. Заметим, что ноль должен идти после четвёрки, поскольку иначе нельзя получить число 40, между двумя единицами должны быть двойка и тройка, поскольку иначе нельзя получить числа 21 и 31, поэтому вторая цифра должна быть 2. Между двумя двойками должна быть тройка, поскольку иначе нельзя получить число 32, поэтому третья цифра должна быть 3. Далее можно использовать по порядку наименьшие оставшиеся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не появится четвёрка. После неё должен идти ноль, а затем оставшиеся цифры в порядке возрастания.

 

Ответ: а) Например, 7814236; б) нет; в) 1231234056789.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в4
Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в

ИЛИ

обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в

3
Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б

ИЛИ

обснованно получен верный ответ в пункте в

2
Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства