Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.
а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.
б) Пусть 
Q — точка пересечения прямых KM и AB, а T — такая точка на отрезке PQ, что 
Найдите QT .
а) 
и 
поэтому треугольники MCK и PAM равнобедренные, причём 
— углы при их основаниях MK и 
Значит, 
Следовательно, прямая AP параллельна прямой BC.
б) Обозначим 
Тогда 
По теореме Пифагора 
или 
откуда 
Значит, 
Поскольку 
и 
четырёхугольник ABCP — прямоугольник, значит, 
Треугольник AMQ подобен треугольнику CMP с коэффициентом 
поэтому 
По теореме Пифагора 
Обозначим 
Тогда 
поэтому AT — биссектриса, а значит, и высота равнобедренного треугольника 
Таким образом, AT — высота прямоугольного треугольника PAQ, проведённая из вершины прямого угла, следовательно, 
Ответ: 