СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519517

Угол BAC треугольника ABC равен Сторона BC является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности,

если R = 6,

Решение.

а) Пусть точка Q ― центр окружности, вписанной в треугольник ABC (см.рисунок).

Тогда и .

Получаем, что Углы BCQ и CBQ вписаны в окружность O(R), поэтому Значит, и . Следовательно, около четырёхугольника ABOC можно описать окружность, что и требовалось доказать.

 

б) В четырёхугольник ABOC можно вписать окружность, следовательно, , откуда AC = AB. Таким образом, ― правильный треугольник со стороной .

Далее имеем:

 

Учитывая, что , окончательно получаем

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 519517: 519543 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники