Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519664

а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что \left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ?

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что \left| дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби минус 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 10000 конец дроби ?

в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения \left| дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2 | будет наименьшим.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку 1,4 меньше корень из 2 меньше 1,42, число  корень из 2 лежит в отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 20 конец дроби ; дробь: числитель: 71, знаменатель: 50 конец дроби правая квадратная скобка , длина которого равна  дробь: числитель: 71, знаменатель: 50 конец дроби минус дробь: числитель: 28, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 50. Следовательно, расстояние от  корень из 2 до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Тем самым искомые числа существуют.

 

Примечание.

Выше получено, что удовлетворяющие условию числа существуют. Искать их не требовалось, но можно и найти. Для этого заметим, что  корень из 2 лежит правее точки 1,41 — середины отрезка  левая квадратная скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 20 конец дроби ; дробь: числитель: 71, знаменатель: 50 конец дроби правая квадратная скобка . Поэтому, \left| дробь: числитель: 71, знаменатель: 50 конец дроби минус корень из 2 | меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100. Следовательно, примером являются числа 71 и 50.

 

Приведем другое решение пункта а).

а) Заметим, что неравенство \left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби равносильно двойному неравенству

 корень из 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 меньше или равно дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби меньше или равно корень из 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100.

При этом

 корень из 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 меньше 1,42 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100=1,41,

1,42= 1,41 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 меньше корень из 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100,

а значит, из неравенства

1,41 меньше дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби меньше 1,42 \undersetn принадлежит N \mathop равносильно 1,41n меньше m меньше 1,42n

следует, что \left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .

Пусть, например, n=65, тогда 91,65 меньше m меньше 92,3. Следовательно, двузначные числа m=92 и n=65, удовлетворяют исходному неравенству.

 

б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство \left| дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби минус 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 10000. Тогда

 дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 в квадрате меньше или равно 2 меньше или равно дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 100 в квадрате .

Так как по условию  n меньше 100, из последнего неравенства получаем

 дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби n в квадрате меньше 2 меньше дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: n в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби n в квадрате ,

откуда m в квадрате минус 1 меньше 2n в квадрате меньше m в квадрате плюс 1. Следовательно,  2n в квадрате =m в квадрате . Противоречие.

 

в) С увеличением n значение выражения  дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: n конец дроби уменьшается. Так как при  n=24 значение выражения  1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: n конец дроби больше  корень из 2 , при n=25 — меньше  корень из 2 , и значение \left| дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2 | равно расстоянию от  дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби до  корень из 2 , наименьшее значение это выражение принимает при n=24 или n=25.

При n=24 получаем:

 \left| дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2 |= дробь: числитель: 34, знаменатель: 24 конец дроби минус корень из 2 ,

а при n=25 получаем

\left| дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2 |= корень из 2 минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 25 конец дроби .

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение  \left| дробь: числитель: n плюс 10, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2 | принимает при  n=24.

 

Приведем решение Евгения Обухова (Москва)

 

а) Нас спрашивают про хорошее приближение числа  корень из 2 рациональной дробью, состоящей из двузначных чисел. Искать его следует среди подходящих дробей. Хорошо известно (и легко выводится) представление числа  корень из 2 в виде бесконечной цепной дроби:

 корень из 2=1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс \dfrac12 плюс \dfrac12 плюс \ldots конец дроби .

Найдём момент, когда подходящая дробь состоит из двузначных чисел:

1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби .

Такого приближения, конечно, хватит в виду известной теоремы (подходящие дроби "хорошо приближают":\left| дробь: числитель: p_n, знаменатель: q_n конец дроби минус альфа | меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: q_n в квадрате конец дроби ):

 \left| дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби минус корень из 2 | меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .

 

(В принципе, требуемое неравенство легко проверяется и непосредственно, поскольку для корня из двух первые две цифры после запятой хорошо известны:  корень из 2 =1.41..., а то, что  дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби =1,41... проверяется делением в столбик за несколько секунд.)

 

 

в) Требуется минимизировать выражение \left| дробь: числитель: 10, знаменатель: n конец дроби минус левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка |. Снова рассматриваем разложение приближаемого числа в цепную дробь (которое легко получается из приведённого ранее разложения переносом единицы из правой части в левую):

 корень из 2 минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс \ldots конец дроби конец дроби конец дроби .

Заметим, что уже одна из первых подходящих дробей нас вполне устраивает:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби .

Имеем:  дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби , это как раз нужный нам числитель. А т. к. подходящие дроби в принципе приближают очень хорошо, то можно надеяться, что нужное нам n найдено (n=24). И это действительно, очевидно, так:

\left| дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби минус левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка |=\left| дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби минус левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка | меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 144 конец дроби

То есть дробь  дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби находится весьма близко к числу  корень из 2 минус 1. И ясно, что оставшиеся наиболее близкие дроби (из доступных нам, с числителем 10):  дробь: числитель: 10, знаменатель: 23 конец дроби и  дробь: числитель: 10, знаменатель: 25 конец дроби находятся от числа  корень из 2 минус 1 дальше.

(В частности, это можно проверить непосредственно:  дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби , и т. к.  дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 144 конец дроби умножить на 2, то дробь  дробь: числитель: 10, знаменатель: 25 конец дроби выпадет из окрестности  левая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 144 конец дроби ; левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 144 конец дроби правая круглая скобка , в которой дробь  дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби , в свою очередь, находится. Аналогично с дробью  дробь: числитель: 10, знаменатель: 23 конец дроби , там соответствующая разность  дробь: числитель: 10, знаменатель: 23 конец дроби минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 24 конец дроби , очевидно, ещё больше.)

 

б) Предположим, что такие m и n существует. Тогда с помощью формулы разности квадратов преобразуем данное в условии неравенство в привычный нам вид:

\left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 \left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби плюс корень из 2| конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 конец дроби .

То есть дробь  дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби обязана быть очень близкой к  корень из 2, поэтому оценку можно легко улучшить вдвое:

\left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби минус корень из 2| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 \left| дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби плюс корень из 2| конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 умножить на 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2n в квадрате конец дроби .

(Т. к., напомним, n меньше 100.)

 

Последнее неравенство означает, что дробь  дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби  — подходящая дробь числа  корень из 2 (по теореме о том, что из неравенства \left| дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби минус альфа | меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2q в квадрате конец дроби следует, что несократимая дробь  дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби является подходящей дробью числа  альфа ).

 

Т. к. подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, то в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:

1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби конец дроби конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби .

 

Осталось убедиться, что неравенство \left| дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби минус корень из 2| меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 умножить на 2 конец дроби не выполняется, что приводит к противоречию. Это легко делается на "калькуляторе".

 

Можно, впрочем, обойтись и без "калькулятора". Приблизим корень из двух более хорошей подходящей дробью. Скажем, дроби  дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби хватит, т. к. \left| дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби минус корень из 2| меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 408 в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 4 умножить на 10 в квадрате правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 5 конец дроби . Вычисления в столбик довольно быстро дают нам десятичные представления:  дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби =1,414215...,  дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби =1,414285..., то есть довольно значимое различие на как раз пятом знаке после запятой (\left| дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби минус дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби | больше дробь: числитель: 6, знаменатель: 10 в степени 5 конец дроби ). Имеем (с помощью неравенства треугольника):

 \left| дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби минус корень из 2| больше \left| дробь: числитель: 99, знаменатель: 70 конец дроби минус дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби | минус \left| дробь: числитель: 577, знаменатель: 408 конец дроби минус корень из 2| больше дробь: числитель: 6, знаменатель: 10 в степени 5 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 10 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 в степени 4 умножить на 2 конец дроби .

 

Что и требовалось для получения противоречия.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 11.04.2018. Досрочная волна, резервная волна. Запад (часть С)
Классификатор алгебры: Числа и их свойства