Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M.
Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
Решение.
Спрятать критерииа) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Можно построить окружность с центром B1 и радиусом 
Вписанный угол ABC опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим
Сложим полученные равенства:
Ответ: б) 180.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Многоугольники и их свойства