К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
а) Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M1, стороны AD — в точке N1, а прямой MN — в точке T. По свойству касательных
и 
Тогда
б) Положим 
Тогда
По теореме Пифагора 
то есть
Отсюда находим, что 
Тогда 
и 
Пусть O — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что DL = BH, поэтому 
Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:
откуда
учитывая, что 
находим, что 
Ответ: б) 1 : 3.
Приведем решение пункта б) предложенное нашим читателем Дмитрием.
Часть б) можно решить проще, доказав, что 
Оттуда сразу следует, что 
при любом положении точки M. Действительно, 
а 
— угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, PH — биссектриса 
— биссектриса 
Следовательно, 
Треугольники OHB и OMA равны по второму признаку.