Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Диа­метр CC1 пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AD и пе­ре­се­ка­ет её в точке M, а диа­метр DD1 пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AB и пе­ре­се­ка­ет её в точке N.

а)  Пусть AA1 также диа­метр окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что \angle DNM=\angle BA_1D_1.

б)  Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если CDB вдвое мень­ше угла ADB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Точка B лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AA1, по­это­му пря­мая A1B пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB, а по­сколь­ку пря­мая DD1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB, пря­мая A1B па­рал­лель­на пря­мой DD1, по­это­му \angle BA_1D_1=\angle A_1D_1D как на­крест ле­жа­щие.

Впи­сан­ные углы A1D1D и A1AD опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, зна­чит, \angle BA_1 D_1=\angle A_1D_1D=\angle A_1AD.

Пусть O  — центр окруж­но­сти. Из точек M и N от­ре­зок OA виден под пря­мым углом, зна­чит, эти точки лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA. Впи­сан­ные в эту окруж­ность углы MAO и MNO опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, по­это­му \angle DNM=\angle MNO=\angle OAM=\angle A_1AD. Сле­до­ва­тель­но, \angle DNM=\angle BA_1D_1.

б)  По­сколь­ку диа­метр, пер­пен­ди­ку­ляр­ный хорде, делит ее по­по­лам, тре­уголь­ни­ки ACD и ABD рав­но­бед­рен­ные (их вы­со­та яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми). По­ло­жим, \angle CDB= альфа , \angle ADB=2 альфа . Тогда

\angle BAD=\angle ABD=\angle ACD=180 гра­ду­сов минус 2\angle ADC=180 гра­ду­сов минус 6 альфа .

С дру­гой сто­ро­ны, \angle BAD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle ADB пра­вая круг­лая скоб­ка =90 гра­ду­сов минус альфа , из ра­вен­ства 180 гра­ду­сов минус 6 альфа =90 гра­ду­сов минус альфа на­хо­дим, что альфа =18 гра­ду­сов. Сле­до­ва­тель­но, \angle ADC=3 альфа =54 гра­ду­сов, \angle ABC=180 гра­ду­сов минус \angle ADC=126 гра­ду­сов, \angle BAD=
=90 гра­ду­сов минус альфа =72 гра­ду­сов, \angle BCD=180 гра­ду­сов минус \angle BAD =108 гра­ду­сов.

 

Ответ: б) 72°, 126°, 108°, 54°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 520661: 520702 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026