Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521081

Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

а) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.   

б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр  СР, если известно, что  \angle APB = 150 в степени circ.

Решение.

а) Заметим, что радиус OC перпендикулярен касательной, поэтому хорда AB перпендикулярна диаметру PC, поэтому  PC пересекает хорду AB в ее середине (PC именно серединный перпендикуляр, поскольку  O лежит на нем). Значит в треугольнике  APB медиана совпадает с высотой, поэтому он равнобедренный.

б) Треугольник  PAC прямоугольный, поскольку угол PAC опирается на диаметр. Далее  \angle APC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle APB=75 в степени \circ , поэтому  PA=PC умножить на косинус 75 в степени \circ . По теореме синусов имеем также  дробь, числитель — AB, знаменатель — синус 150 в степени \circ =OC, поэтому  AB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OC. Пусть K — точка пересечения  PC и  AB. Тогда:

 PK= корень из { PA в степени 2 минус AK в степени 2 }= корень из { OC в степени 2 умножить на косинус в степени 2 75 в степени \circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 OC в степени 2 }= OC корень из { косинус в степени 2 75 в степени \circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 }=

 

=OC корень из { дробь, числитель — 1 плюс косинус 150 в степени \circ , знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 }= OC корень из { дробь, числитель — 7 минус 4 корень из { 3}, знаменатель — 16 }=OC умножить на дробь, числитель — 2 минус корень из { 3}, знаменатель — 4 .

Значит,  CK=PC минус PK=OC умножить на дробь, числитель — 2 плюс корень из { 3}, знаменатель — 4 и  PK:KC=(2 минус корень из { 3}):(2 плюс корень из { 3})=7 минус 4 корень из { 3}.

 

Ответ: б)  7 минус 4 корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 173.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники