Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521105

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а BM=8.

Решение.

а) Обозначим:  AC=2a,  AB=BC=b, тогда  AM=a. Радиус вписанной окружности равен  r= дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p_{ABC }, а вневписанной  r_{AC}= дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p_{ABC минус AC}. Тогда:

 2r умножить на 2r_{AC}= дробь, числитель — 4S в степени 2 _{ABC}, знаменатель — (a плюс b)(b минус a = дробь, числитель — 4S в степени 2 _{ABC}, знаменатель — b в степени 2 минус a в степени 2 = дробь, числитель — AC в степени 2 умножить на BM в степени 2 , знаменатель — BM в степени 2 =AC в степени 2 ,

что и требовалось доказать.

б) В обозначениях предыдущего пункта имеем:  b в степени 2 минус a в степени 2 =64 и  3= дробь, числитель — 8a, знаменатель — a плюс b .

Из второго уравнения:  3b=5a,  b= дробь, числитель — 5a, знаменатель — 3 . Подставляя в первое, получаем:  дробь, числитель — 25a в степени 2 , знаменатель — 9 минус a в степени 2 =64,  a=6,  b=10. Тогда:

 r_{AC}= дробь, числитель — BM умножить на AM, знаменатель — AB плюс AM минус AC = дробь, числитель — 48, знаменатель — 4 =12.

Ответ: б) 12.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176.
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники