Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521113

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

а) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ = 17, ВС = 7, AC= корень из { 177}.

Решение.

а) Имеем:

 r_{ABM}= дробь, числитель — S_{ABM}, знаменатель — p_{ABM }= дробь, числитель — 0,5S_{ABC}, знаменатель — p_{ABM }= дробь, числитель — 0,5S_{ABC}p_{ABC}, знаменатель — p_{ABC p_{ABM}}=0,5r_{ABC} дробь, числитель — p_{ABC}, знаменатель — p_{ABM }

Поэтому нужно, чтобы периметры треугольников  ABC и  ABM совпадали. Это невозможно, поскольку

 P_{ABC}=AB плюс BC плюс AC=AB плюс BM плюс MC плюс AC больше AB плюс BM плюс AM=P_{ABM}.

б) Имеем:  PK=|BP минус BK|. В треугольнике отрезок от вершины до точки касания с вписанной окружностью можно вычислить по формуле  p минус a, где  p — полупериметр, a — противолежащая сторона. Получим:

 BP= дробь, числитель — AB плюс AM минус BM, знаменатель — 2 ;

 

 BK= дробь, числитель — BC плюс CM минус BM, знаменатель — 2 ;

 

 PK= дробь, числитель — AB минус BC, знаменатель — 2 =5.

Ответ: а) Нет; б) 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Треугольники