Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521134

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС отмечены точки C_1 и  B_1 соответственно, причем BC_1:AC_1=1:3, AB_1:CB_1=2:5. Прямые BB_1 и CC_1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, чтo площадь треугольника BOC в десять раз больше площади треугольника BOC_ 1.

б) Найдите площадь четырехугольника AB_1OC_1, если площадь треугольника B_1OC равна 150.

Решение.

а) По теореме Менелая для треугольника ACC_1 и прямой B_1OB имеем:

 дробь, числитель — AB_1, знаменатель — B_1C умножить на дробь, числитель — CO, знаменатель — OC_1 умножить на дробь, числитель — C_1B, знаменатель — BA =1,

откуда  дробь, числитель — CO, знаменатель — OC_1 =10. Отсюда и следует нужное утверждение, поскольку высоты у данных треугольников совпадают.

б) По теореме Менелая для треугольника ABB_1 и прямой C_1OC имеем:

 дробь, числитель — AC_1, знаменатель — C_1B умножить на дробь, числитель — BO, знаменатель — OB_1 умножить на дробь, числитель — B_1C, знаменатель — CA =1,

откуда  дробь, числитель — BO, знаменатель — OB_1 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 15 . Тогда:

S_{BOC}= дробь, числитель — 7, знаменатель — 15 S_{B_1OC}=70,

 

S_{BOC_1}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 умножить на 70=7.

Далее:

 дробь, числитель — S_{ABB_1}, знаменатель — S_{BB_1C }= дробь, числитель — AB_1, знаменатель — B_1C = дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ,

откуда

S_{ABB1}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 умножить на (150 плюс 70)=88.

Тогда S_{AB_1OC_1}=88 минус 7=81.

 

Ответ: 81.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 179.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники