Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521162

В квадрате ABCD, со стороной равной а, точки P и Q — середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R.

а) Доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности.

б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

Решение.

а) Имеем:

\angle BRQ=\angle ARQ=180 в степени \circ минус \angle QAP минус \angle BPA=180 в степени \circ минус \angle QAP минус \angle AQD=\angle QDA=90 в степени \circ ,

поэтому суммы углов \angle BCQ плюс \angle BRQ и \angle PDQ плюс \angle PRQ равны 180 в степени \circ . Поэтому четырехугольники вписанные. В середине цепочки использовано равенство прямоугольных треугольников QAD и PBA (равны по двум катетам и прямому углу).

б) В этих окружностях BQ и PQ являются диаметрами (на них опираются прямые углы), поэтому центры — середины этих отрезков, а расстояние между ними — длина средней линии треугольника BQP. Она равна:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { AB в степени 2 плюс AP в степени 2 }= дробь, числитель — корень из { 5}a, знаменатель — 4 .

Ответ:  дробь, числитель — a корень из 5 , знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 182.
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники