Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521169

Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С — между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окружности.

а) Доказать, что треугольники АВС и DВЕ подобны.

б) Найти площадь ABC, если АС  =  8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

Решение.

а) Из вписанности четырехугольника ADEC получаем:

\angle ADE=180 в степени \circ минус \angle ACE=\angle BCA,

поэтому треугольники подобны по двум углам (угол B у них общий).

б) Поскольку треугольник DBE равнобедренный (касательные из одной точки равны), то и треугольник ABC равнобедренный. Пусть AB=BC=x, тогда:

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 8 умножить на корень из { x в степени 2 минус 4 в степени 2 }=4 корень из { x в степени 2 минус 16},

и радиус вписанной окружности равен:

 дробь, числитель — 4 корень из { x в степени 2 минус 16}, знаменатель — 4 плюс x =1.

Решим это уравнение:

4 корень из { x в степени 2 минус 16}=(x плюс 4) равносильно 16(x минус 4)(x плюс 4)=(x плюс 4) в степени 2 равносильно 16x минус 64=x плюс 4 равносильно x= дробь, числитель — 68, знаменатель — 15 .

Сокращать на x плюс 4 можно, оно не равно нулю, поэтому:

S=(4 плюс x)r=4 плюс x= дробь, числитель — 128, знаменатель — 15 .

Ответ:  дробь, числитель — 128, знаменатель — 15 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 183.
Классификатор планиметрии: Треугольники