Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521177

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна2 корень из 2 .

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение.

а) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC (поскольку \angle AQC=\angle APC=90 в степени \circ ). Тогда по свойству вписанного четырехугольника (AQPC) имеем:

\angle ACP=180 в степени \circ минус \angle AQP=\angle BQP,

поэтому треугольники BQP и BCA подобны по двум углам (угол B у них общий).

 

б) По условию  дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — S_{BQP }=9, поэтому они подобны с коэффициентом  корень из { 9}=3, в частности AC=6 корень из { 2}. Пусть QB=x, PB=y. Тогда:

AQ=AB минус QB=3y минус x,

аналогично PC=3x минус y. Далее: AP= дробь, числитель — 2S_{ABC}, знаменатель — BC = дробь, числитель — 12, знаменатель — y , аналогично CQ= дробь, числитель — 12, знаменатель — x . Теперь напишем теорему Пифагора для треугольников APC и AQC:

72= дробь, числитель — 144, знаменатель — x в степени 2 плюс (3x минус y) в степени 2

 

72= дробь, числитель — 144, знаменатель — y в степени 2 плюс (3y минус x) в степени 2

Вычитая эти уравнения, получим:

144 умножить на дробь, числитель — y в степени 2 минус x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 y в степени 2 плюс 8(x в степени 2 минус y в степени 2 )=0.

Возможны два случая.

1. Имеем: x не равно y. Сокращая на x в степени 2 минус y в степени 2 , получим  дробь, числитель — 144, знаменатель — x в степени 2 y в степени 2 =8, откуда  xy= корень из { 18}=3 корень из { 2}. Тогда:

18=S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 3x умножить на 3y умножить на синус \angle B= дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 синус \angle B,

откуда  синус \angle B= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 корень из { 2 } и  R_{ABC}= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 синус \angle B =4,5.

 

2. Имеем: x=y. Тогда из начальных уравнений получим:

72= дробь, числитель — 144, знаменатель — x в степени 2 плюс 4x в степени 2 равносильно x в степени 4 минус 18x в степени 2 плюс 36=0 равносильно x в степени 2 =9\pm 3 корень из { 5} равносильно x= корень из { 9\pm 3 корень из { 5}}.

 

Если взять x= корень из { 9 минус 3 корень из { 5}} меньше 2, то треугольник ABC получится тупоугольным, поскольку

AB в степени 2 плюс BC в степени 2 =18x в степени 2 меньше 72=AC в степени 2 .

Значит, x= корень из { 9 плюс 3 корень из { 5}}. Но тогда площадь ABC равна:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 6 корень из { 2} умножить на корень из { (3x) в степени 2 минус 18}=3 корень из { 2} умножить на 3 корень из { 7 плюс 3 корень из { 5}}=9 корень из { 14 плюс 6 корень из { 5}} не равно 18,

поэтому такой случай также невозможен. Это может показаться странным, ведь мы учли все условия с перпендикулярностью. Однако условие о том, что QB:CB=3 в этой системе не учитывалось никак, например.

 

Ответ: б) 4,5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 184.
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники