Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521184

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е — на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD — биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.

б) Найти значения чисел p и q, если \overrightarrow{AB}=p\overrightarrow{BE} плюс q\overrightarrow{DE}.

Решение.

а) Из условия про площади следует, что S_{ABE}=4S_{ABC}. Заметим, что треугольники ABC и EBA подобны по двум углам: \angle CAB=\angle AEB (первый — угол между касательной и хордой к большой окружности, второй — вписанный угол в ней же, оба равны половине дуги AB) и аналогично \angle ACB=\angle EAB. Коэффициент подобия равен  корень из { дробь, числитель — S_{ABE}, знаменатель — S_{ABC }}=2, поэтому AB:BC=2.

б) Из того же подобия получаем, что BE=2AB. По свойству биссектрисы тогда AD:DE=1:2. Имеем:

\overline{AB}=\overline{AE} плюс \overline{EB}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 \overline{DE} минус \overline{BE}.

Ответ: а) дробь, числитель — AB, знаменатель — BC = 2 б) p = минус 1;q= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185.
Методы геометрии: Использование векторов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники