Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521220

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.

а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1 : 3, ВС = 12, MN = 4.

Решение.

а) По формуле для отрезков от вершины до точки касания с вписанной или вневписанной окружностью имеем:

BM=CN= дробь, числитель — AB плюс BC минус AC, знаменатель — 2 ,

поэтому NM=\abs{BC минус BM минус CN} (если они перекрываются, то под модулем будет  минус MN), Значит,

MN=\abs{BC минус 2BM}=\abs{BC минус (AB плюс BC минус AC)}=\abs{AC минус AB}.

б) Пусть AC больше AB=x, тогда из первого пункта AC=x плюс 4. По формулам для радиусов вписанной и вневписанной окружности имеем:

r= дробь, числитель — 2S_{ABC}, знаменатель — AB плюс AC плюс BC ,

 

r_{BC}= дробь, числитель — 2S_{ABC}, знаменатель — AB плюс AC минус BC .

Поэтому их отношение равно:

 дробь, числитель — AB плюс AC плюс BC, знаменатель — AB плюс AC минус BC = дробь, числитель — 16 плюс 2x, знаменатель — 2x минус 8 =3,

откуда:

16 плюс 2x=6x минус 24 равносильно x=10.

Итак, стороны треугольника равны 10, 12, 14, по формуле Герона его площадь:

 корень из { 18 умножить на 8 умножить на 6 умножить на 4}=24 корень из { 6}

 

Ответ: 24 корень из 6 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 190.
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Треугольники