Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521227

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р — середина стороны AF, точка К — середина стороны АВ.

а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.

б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ = 6.

Решение.

а) Имеем:

S_{AKPD}=S_{PAD} плюс S_{KAD}=2S_{PAD}=2 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — d (P,AD) умножить на AD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(F,AD) умножить на AD.

Далее:

S_{DEPF}=S_{DPF} плюс S_{DEF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{DAF} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(D,EF) умножить на EF=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 d(F,AD) умножить на AD плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 d(F,AD) умножить на AD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(F,AD) умножить на AD,

поэтому площади равны.

б) Пусть AE и DP пересекаются в точке O, а CA и DK в точке N. Тогда:

S_{KDOA}=S_{KDPA} минус S_{APO} минус S_{AKN}=S_{KDPA} минус 2S_{APO}=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(F,AD) умножить на AD минус 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP умножить на AO умножить на синус \angle OAP=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на корень из { 3}{2} AB умножить на 2AB минус 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AF умножить на AO умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = 18 корень из { 3} минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 AO.

Вычислим AO. Продолжим DO до пересечения с продолжением EF в точке T. Тогда треугольники DAP и TFP равны по стороне FP=PA и двум углам ( \angle TPF=\angle APD, \angle ADP=\angle FTP как накрест лежащие при параллельных AD и FE). Значит, TF=AD=2FE. По теореме Менелая для треугольника EAF и прямой OPT имеем:

 дробь, числитель — EO, знаменатель — OA умножить на дробь, числитель — AP, знаменатель — PF умножить на дробь, числитель — FT, знаменатель — TE =1,

откуда EO:OA=3:2, поэтому:

AO= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 AE= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 умножить на корень из { 3}AB= дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 корень из { 3}.

Окончательно:

S_{DOAK}=18 корень из { 3} минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 корень из { 3}= дробь, числитель — 72, знаменатель — 5 корень из { 3}.

Ответ:  дробь, числитель — 72 корень из { 3}, знаменатель — 5 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 191.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Правильный шестиугольник, Треугольники