Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521275

Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Окружности \omega_1 и \omega_2 описаны около треугольников АОВ и ВОС соответственно. Пусть  O_1 — центр окружности \omega_1, а O2 — центр окружности \omega_2.

а) Докажите, что прямая BO_1 касается окружности \omega_2, а прямая BO_2 касается окружности \omega_1.

б) Найдите длину отрезка O_1O_2, если известно, что АВ = 6, ВС = 8.

Решение.

а) Поскольку \omega_2 проходит через точку B, достаточно доказать, что прямая O_2B перпендикулярна прямой O_1B. Пусть стороны прямоугольника равны AB=2a, BC=2b, b больше или равно a. Тогда:

R_{ABO}= дробь, числитель — AB умножить на AO умножить на BO, знаменатель — 4S_{ABO }= дробь, числитель — AB умножить на AO в степени 2 , знаменатель — S_{ABCD }= дробь, числитель — 2a умножить на 14 AC в степени 2 , знаменатель — 4ab = дробь, числитель — a в степени 2 плюс b в степени 2 , знаменатель — 2b .

Поэтому:

 косинус \angle O_1BA= дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB, знаменатель — O_1B = дробь, числитель — 2ab, знаменатель — a в степени 2 плюс b в степени 2 .

Для другой окружности ответ будет таким же, но там этот угол находится снаружи прямоугольника. Поэтому:

\angle O_2BO_1=\angle O_2BC плюс \angle CBA минус \angle O_1BA=\angle CBA=90 в степени \circ ,

что и требовалось. Утверждение про вторую окружность, очевидно, требует той же самой перпендикулярности, поэтому тоже доказано.

б) Теперь найдём длину отрезка O_1O_2:

O_1O_2= корень из { O_1B в степени 2 плюс O_2B в степени 2 }= корень из { дробь, числитель — (a в степени 2 плюс b в степени 2 ) в степени 2 , знаменатель — 4b в степени 2 плюс дробь, числитель — (a в степени 2 плюс b в степени 2 ) в степени 2 , знаменатель — 4a в степени 2 }= дробь, числитель — a в степени 2 плюс b в степени 2 , знаменатель — 2 корень из { дробь, числитель — a в степени 2 плюс b в степени 2 , знаменатель — a в степени 2 b в степени 2 }.

В нашем случае a=3, b=4, получаем:

 дробь, числитель — 25, знаменатель — 2 умножить на корень из { дробь, числитель — 25, знаменатель — 144 }= дробь, числитель — 125, знаменатель — 24 .

Ответ:  дробь, числитель — 125, знаменатель — 24 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 197.
Классификатор планиметрии: Треугольники