Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 521312

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 10 раз.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

u = 0,9 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка B минус mB ;10u = левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка B.

Если B = 7 , то  левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка B не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это невозможно, поскольку 10u = левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка B .

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

u = левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка A минус 0,9 левая круглая скобка 8 минус m правая круглая скобка A;10u = левая круглая скобка 18 минус m правая круглая скобка A = левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка B.

Заметим, что если B =1 или B = 3, то 10u = левая круглая скобка 9 минус m правая круглая скобка B не делится на 10. Если B = 2 или B = 4 , то m = 4 . В первом случае 14A =10, а во втором 14A = 20 . Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При B = 5 и m = 3 получаем u = 3 и A = 2 . Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося — 3 балла.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2019 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства