Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521347

В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК = 2СК.

 

а) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3 : 7.

б) Пусть М — точка пересечения АК и BD, Р — точка пересечения DK и АС. Найдите длину

отрезка МР, если АВ = 8, ВС = 6.

Решение.

а) Треугольники BKM и DAM подобны с коэффициентом BK:AD= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 , поэтомуAM:MK=3:2, AM= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 AK.

 

Обозначим за O точку пересечения диагоналей прямоугольника. Тогда  дробь, числитель — S_{AMO}, знаменатель — S_{AKC }= дробь, числитель — AM умножить на AO, знаменатель — AK умножить на AC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 , откуда и следует утверждение п. а).

 

б) Введем координаты с началом в точке A и осями x, y направленными вдоль AD, AB соответственно.

 

Тогда координаты точек будут K(4;8), M левая круглая скобка дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 правая круглая скобка , P левая круглая скобка дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 ; 6 правая круглая скобка (поскольку KP : PD = 1 : 3 по соображениям, аналогичным п. а)) и расстояние составит

 корень из { 2,1 в степени 2 плюс 1,2 в степени 2 }= корень из { 5,85}= дробь, числитель — 3 корень из { 13}, знаменатель — 2 корень из { 5 }.

Ответ: б)  дробь, числитель — 3 корень из { 13}, знаменатель — 2 корень из { 5 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 202.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники