СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521350

На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.

а) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным ?

б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем ?

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения .

Решение.

а) Да, например если в первой группе все единицы и четверки, а во второй — все тройки и двойки.

 

б) Да, может. Например если в первой группе все единицы, а во второй все остальное, то .

 

в) Обозначим сумму чисел в первой группе за x, а количество за n. Можно считать, что , иначе поменяем группы местами. Нужно минимизировать выражение .

Если уменьшить на 1 сумму в первой группе, то выражение изменится на при .

 

Поэтому при известной численности групп выгодно делать сумму в меньшей группе как можно меньше, то есть брать туда все единицы, а если их не хватит — то двойки.

Пусть . Перенесем тогда двойку из первой группы во вторую. Оба срених уменьшатся, поскольку среднее в первой было меньше двух (все числа не превосходили 2), а во второй наоборот больше двух. Будем повторять эту операцию, пока n не станет равно 5.

Теперь будем переносить единицы. Это не изменит первого среднего, но уменьшит второе.

Поэтому оптимальный пример — когда первая группа состоит из одной единицы, а вторая — из всех остальных чисел.

Тогда .

 

Ответ: a) да; б) да; в) .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 202.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства